【中学受験】「場合の数」を考える。

中学受験
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いよいよ来ました「場合の数」。昔こんなの勉強した記憶無いけどなー???子供もどうも分かりづらいようで何回教えても同じように間違えるこの単元。
そもそも場合の数ってどういう意味だろう・・・。ネーミングから想像するに、こんな場合はどうなるの?という事かな。要するに、ある条件を与えられたときに、結果がどうなるかを考えてみて!ということですね。

TAK所長
TAK所長

つまづきやすい単元ですね。しっかり理解しましょう!

どうもわかりにくい「場合の数」

さて、早速ですが、こんな問題があるとします。

問1:5人の中から代表者を1人選ぶ方法は何通りありますか?

これは簡単ですね、Aさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさんの5人としたら、いずれかの1人を選ぶわけですから、5通りとなります。

問2:5人の中から代表者と副代表者を選ぶ方法は何通りありますか?

例えば、まず、Aさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさんの5人から代表者を選ぶわけです。そして、副代表者は、残った4人から1人を選ぶということですね。以下のように考えられます。
・代表者Aさんと、副代表者(B,C,D,E)さんのいずれか・・・4通り
・代表者Bさんと、副代表者(A,C,D,E)さんのいずれか・・・4通り
・代表者Cさんと、副代表者(A,B,D,E)さんのいずれか・・・4通り
・代表者Dさんと、副代表者(A,B,C,E)さんのいずれか・・・4通り
・代表者Eさんと、副代表者(A,B,C,D)さんのいずれか・・・4通り
つまり、5×4通り=20通りとなります。

問3:5人の中から代表者を2人選ぶ方法は何通りありますか?

問2と似ていますね、Aさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさんの5人から1人を選ぶわけです。そして、もう一人は、残った4人から1人を選ぶということですね。
・Aさんと、(B,C,D,E)さんのいずれか・・・4通り
・Bさんと、(A,C,D,E)さんのいずれか・・・4通り
・Cさんと、(A,B,D,E)さんのいずれか・・・4通り
・Dさんと、(A,B,C,E)さんのいずれか・・・4通り
・Eさんと、(A,B,C,D)さんのいずれか・・・4通り
つまり、5×4通り=20通りとなります。。。あれ?先ほどと同じ答えになりました。

TAK所長
TAK所長

それって本当でしょうか?

よく見てみると、同じ組み合わせがありますよね。例えば、AさんとBさんの組み合わせは2つあります。この問題では代表者を2人選ぶという事ですので、「AさんとBさん」と「BさんとAさん」は同じ組み合わせと考えます。以下の赤い部分です。
Aさんと、(B,C,D,E)さんのいずれか・・・4通り
Bさんと、(A,C,D,E)さんのいずれか・・・4通り
実はすべての組み合わせが2つずつあるんですね。ですので、先に求めた20通りというのは同じ組み合わせを重複して2回数えているので、2で割った10通りが答えとなります。
組み合わせを書き出してみると以下のようになります。

・Aさんと、(B,C,D,E)さんのいずれか・・・4通り
・Bさんと、(A,C,D,E)さんのいずれか・・・既にABの組合せは出てきているので除外して3通り
・Cさんと、(A,B,D,E)さんのいずれか・・・既にAC、BCの組み合わせは出てきているので除外して2通り
・Dさんと、(A,B,C,E)さんのいずれか・・・既にAD、BD、CDの組み合わせは出てきているので除外して1通り
・Eさんと、(A,B,C,D)さんのいずれか・・・既にAE、BE、CE、DEの組み合わせは出てきているので除外して0通り

このように順に考えていくと、対象者が一人ずつ減っていくのですね。これらの合計が10通りになるということです。

どのような組み合わせパターンがあるかを考えよう

問4:5人の中から代表者を3人選ぶ方法は何通りありますか?

3人を選ぶとなると、全てのパターンを書き出すのは大変ですね。テストの時にひたすら書いても間違えてしまいそうです。ちなみにAさんから順番に書き出してみると以下のようになるのですが、やはり大変です。

・Aさんと、Bさんと,(C,D,E)さんのいずれか・・・3通り
・Aさんと、Cさんと,(B,D,E)さんのいずれか・・・2通り
・Aさんと、Dさんと,(B,C,E)さんのいずれか・・・1通り
・Aさんと、Eさんと,(B,C,D)さんのいずれか・・・0通り

・Bさんと、Aさんと,(C,D,E)さんのいずれか・・・0通り
・Bさんと、Cさんと,(A,D,E)さんのいずれか・・・2通り
・Bさんと、Dさんと,(A,C,E)さんのいずれか・・・1通り
・Bさんと、Eさんと,(A,C,D)さんのいずれか・・・0通り

・Cさんと、Aさんと,(B,D,E)さんのいずれか・・・0通り
・Cさんと、Bさんと,(A,D,E)さんのいずれか・・・0通り
・Cさんと、Dさんと,(A,B,E)さんのいずれか・・・1通り
・Cさんと、Eさんと,(A,B,D)さんのいずれか・・・0通り

・Dさんと、Aさんと,(B,C,E)さんのいずれか・・・0通り
・Dさんと、Bさんと,(A,C,E)さんのいずれか・・・0通り
・Dさんと、Cさんと,(A,B,E)さんのいずれか・・・0通り
・Dさんと、Eさんと,(A,B,C)さんのいずれか・・・0通り

・Eさんと、Aさんと,(B,C,D)さんのいずれか・・・0通り
・Eさんと、Bさんと,(A,C,D)さんのいずれか・・・0通り
・Eさんと、Cさんと,(A,B,D)さんのいずれか・・・0通り
・Eさんと、Dさんと,(A,B,C)さんのいずれか・・・0通り

TAK所長
TAK所長

テスト中に全部書き出す時間はありませんね。

この場合、3人を選ぶのですから、例えば、A,B,Cの3人を順に選ぶにはABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAの6通りあることになりますが、これらは同じメンバーです。すべての組み合わせパターンがいくつになるかを求めて「6で割る」ことで答えが求められそうです。

ところで、この「6」という数字はどのように考えれば良いのでしょうか
3人選ぶという事ですから、ABCの3人の場合を考えてみると、1人目は3人の内から1人、2人目は残りの2人から選ぶ、3人目は2人目を選んだ時点で決まっているので、「3×2×1」です。
つまり、全パターンの「5×4×3」を3人の組み合わせの「3×2×1」で割れば良いことになります。
(5×4×3)÷(3×2×1)=10通りとなります。

問5:男女5人ずついるグループから、男子2人女子3人を選ぶ方法は何通りありますか?

先ほどのパターンは3人を選ぶという内容でしたが、異なるものが組み合わさっている場合はどうなるのでしょうか。この問いでは男子2人女子3人となっています。ここは深く考えずに先程と同じように式を作れば大丈夫です。

男子2人:(5×4)÷(2×1)
女子3人:(5×4×3)÷(3×2×1)

それぞれを考えると上記のようになりますが、これらをまとめれば(掛ければ)良いですね。結果、式はこのようになります。
(5×4)÷(2×1)×(5×4×3)÷(3×2×1)=100通り

問題文をよく読んで、どのような組み合わせを求めるのかをしっかり考えましょう。問題もパターン化されているので、繰り返し解けば」身につく単元です。頑張りましょう!

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